薛定谔方程|《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题( 二 )

“有了谐振子的哈密顿量之后，就可以直接写出定态薛定谔方程了。”他告诉网友。

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(张朝阳讲解谐振子的薛定谔方程)
于是，张朝阳作了变量代换：

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将薛定谔方程化简为：

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他边推导边介绍，解此类方程在前面的课程已经进行过很多次了。为了进一步简化上述方程，需考虑当ξ趋向于无穷大时，这个方程近似为：

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根据此近似，张朝阳把波函数变换为：

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将此式代入原来的方程，即可得到：

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其中关于ξ的二次项已经被消掉了。至此，张朝阳将H展开成幂级数代入方程，得到了系数的递推关系。（备注：后面将看到波函数中的H函数为Hermite多项式形式，故这里取其首字母。）

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紧接着，张朝阳分析了如此递推公式下的幂级数，如果不截断成多项式，会导致波函数不满足边界条件，也就是波函数无法归一化。如果要求这个幂级数截断成多项式，则有2k+1-λ=0，从而λ=2k+1。按照一般习惯将k写为n，再结合前方变量代换中λ和E的关系，可得：

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据此，张朝阳强调，谐振子的能量不是连续的，而是存在间隔的。这就是谐振子量子化的体现。他说，“经典力学中的谐振子能量就像斜坡，量子力学中的谐振子能量则是台阶，一级一级的。”
最后，他还介绍了谐振子定态波函数的具体形式。

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(张朝阳介绍谐振子的定态波函数和能级)
拓展讨论：基态波函数、不确定性关系、等间距能级与零点能张朝阳以谐振子基态波函数为例，强调基态的概率分布是高斯分布。先是通过概率分布的集中部分估算了Δx，然后根据动量和能量的关系估算了Δp，最后确认了两者的乘积确实满足不确定性关系。

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(谐振子基态满足不确定性关系)
【薛定谔方程|《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题】他强调，谐振子最低能态(n=0的态)的能量不是0，也就是具有所谓的“零点能”。这是和经典力学不一样的。不过，由于谐振子相邻能级之间的差为固定值，而热激发只和能量差有关，因此，当年普朗克的黑体辐射公式才能和实验完全吻合。
搜狐视频发力知识直播传播知识玩转科学自11月5日至今，《张朝阳的物理课》已直播二十多期。在第一、二课中，张朝阳科普了“力”和“速度”，算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和“振动”相关，科普可见光的基本知识；第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论；在第七、八、九课重温经典物理学的两朵乌云。
第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式“E=mc2”，并论证钟慢尺缩效应；第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变；第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。