彩虹也能“生”出小彩虹( 二 ) 生命是近似的艺术。如果我们

级数的每一项都是变量x的幂函数。
现在给变量x赋予任意一个特定值，我们永远不能将这个级数的每一项都加起来（因为没有无限的时间），但是可以对前n项求和，得到所谓的部分和。我们得到的结果是e的一个近似：n越大（也就是部分和中包含的项数越多），这个近似就越精确。事实上，只要将n取得足够大（即部分和中包含的项足够多），我们可以得到任意精度的近似值。数学上认为这个级数对于所有的x都可以收敛到值f(x) 。
举个例子，现在为了估计x=2时e的值，我们取x=2简单地计算泰勒级数（也叫麦克劳林级数）的前几项，保留前五项，我们得到：

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而函数f(x)在x=2时的真实值是f(2)=e≈7.4.
所以在这个例子中，甚至只取泰勒级数的前五项就可以给出x=2时函数值的一个合理近似。
泰勒级数存在于一整类函数中。并且泰勒定理可以告诉我们近似值与函数的真实值差距有多大。

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泰勒的失败
泰勒级数在理论上很棒，并且艾里使用与艾里函数相对应的泰勒级数也确实可以计算出x从-5.6取到5.6时函数的值。但仍然有一个障碍。尽管艾里函数的泰勒级数可以收敛到函数本身，但它收敛得太慢了。 “在得到第一个附属条纹前，我们甚至需要计算13到14项”豪斯说， “在1838年这非常困难，因为当时的科学家不得不用手算，这是不切实际的。 ”

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蓝色曲线是艾里函数，红色曲线保留前三项泰勒级数得到的近似，可以看到近似值只与代表主彩虹的右方第一个凸起相符。图源：豪斯
为了找到一种更简单的近似艾里函数的方法，数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（GeorgeGabrielStokes）在1850年决定冒险使用一个不收敛的级数做近似。

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撒旦级数
容易想象，不是所有的级数都收敛在有限值。一个简单地例子是下面这个级数：
当部分和中包含越来越多项时，得到的结果也越来越大，最终超过所有的边界——它们不会接近一个有限值。这个级数会发散到无穷大。
发散级数像马戏团里的野兽，危险但可以用各种技巧控制。在1828年，就在斯托克斯开始研究艾里函数前不久，挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（NielsHenrikAbel）就用“魔鬼的发明”来描述发散级数，并且声称“任何基于发散级数的证明都是可耻的” 。
但斯托克斯在寻求对艾里函数做近似时并没有被吓倒。出于对艾里函数数学本质的深入剖析，他开始考虑运用发散级数。事实上，发散级数给出了一个对艾里函数很好的近似。
“驯兽”的技巧在于知道从哪里停止。由于斯托克斯使用的级数发散到无穷，所以如果部分和中的项数取得过多，近似值会变得巨大并且远远偏离对应的有限大小的艾里函数值。但如果部分和的项数取得刚刚好，那么近似值就会很接近实际函数值。

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当把发散级数越来越多的项加起来，我们会得到一个越来越大的结果，最终发散至无穷。但是斯托克斯知道对于他使用的发散级数，取适当多的项可以得到艾里函数的一个好的近似。
斯托克斯的精妙方法使他能够“非常方便地”在所求的x值处近似得到艾里函数值，所以他基本上解决了计算出附属彩虹的问题。下图蓝色曲线代表实际的艾里函数，红色曲线代表斯托克斯的近似。可以看到红线对蓝线的拟合非常接近。仅有的不符出现在x=0的附近，在红色曲线发散向无穷的中间。