量子力学无处不在|薛定谔方程——量子力学皇冠上的明珠，破译其背后的奥秘( 二 ) 量子力学无处不在

所以这就是波函数所表达的。上过概率课程的人可以预见到它的一些特性。首先，我们对归一化的波函数感兴趣。

文章图片
波函数的归一化。为了简单起见，这是一个一维（x维）的波函数
如果我们想一想，这是很直观的。由于波函数大小的平方（等于我们在积分里面看到的波函数与其共轭物的乘积）给出了概率密度，那么我们要求总的概率是1 。
我们已经“破译”了波函数背后的奥秘。现在让我们深入研究薛定谔方程。
薛定谔方程

文章图片
记住我们到目前为止所说的一切，薛定谔方程描述了概率波的形式，它们是如何随时间演变的，以及它们在外部影响下的行为。让我们把它一点一点地分解。
从左手边开始，我们首先遇到的两个符号是"i"（虚数单位）和"h"（普朗克常数）。尽管这些数字（符号）本身非常重要，但它们对于理解薛定谔方程并不重要，因此，我们在本文中不会涉及它们。
我们遇到的下一个表达是波函数的时间导数。时间导数本质上是告诉我们某些东西相对于时间的变化速度。在这种情况下，是波函数的变化有多快。
H上面加个“帽子”被称为哈密尔顿算子。对于那些不熟悉这个概念的人来说，简单地说，算子是一个函数，它的输入不是一个数字，而是另一个函数本身！它们将一个函数转换成另一个函数。例如，我们可以将运算符A定义为任意给定函数f=f(x)并将其乘以x的算子：

文章图片
哈密顿算子的公式稍微复杂一些。

文章图片
哈密顿算子
它一开始看起来很吓人，但它实际上是相当简单的。通过代入算子来写薛定谔方程，我们可以得到：

文章图片
薛定谔方程。
你要理解的不是数学符号，而是哈密尔顿算子的本质。
哈密顿算子与我们系统中的动能和势能有关。
势能部分应该很清楚。上述总和中的第二项实际上是V(x,t) ，它是施加在系统上的外部势能。不明显的是动能。事实证明，和中的第一项本身就是量子力学中的一个算子，它与特定状态的动能有关。

文章图片
这里有很多细微的差别，但这并不重要。你所要记住的是，哈密尔顿算子与系统的总能量有关。重要的事再说两遍：
哈密尔顿算子与系统的总能量有关。
哈密尔顿算子与系统的总能量有关！
薛定谔方程告诉我们，波函数或量子态正在随着时间的变化而变化。它的变化方式取决于系统的总能量（势能+动能）。
结论
薛定谔方程是所有物理学中最著名的方程之一。它使我们能够对各种量子系统以及它们如何随时间演变做出准确的预测。然而，它的应用也有一些限制。事实证明，对于包含众多粒子的系统来说，即使是用最强大的计算机，要解薛定谔方程也是非常困难的。很多专家希望，当我们发明了量子计算机后，这一限制将被解除，但就目前而言，这一优雅的方程并不适合描述大规模的量子系统。
来源：老胡说科学