今年的诺贝尔物理学奖有一个明确的主题：复杂性（complexity）。|如何理解21年诺奖主题——复杂性？它关系到人类未来的命运( 二 ) 今年的诺贝尔物理学奖有一个

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这是一个由原子组成的晶格，每个原子都可以选择"上"或"下"的方向。例如，可以用标签s_i来标记第i个粒子的自旋。
有了这个设置，我们可以构建与这个系统相关的模型量，这是很重要的。接下来的内容有些模棱两可，但这背后有一个强大的理由。我们知道物理系统喜欢将能量最小化，所以我们需要一种方法来建立一个系统的“能量”模型。我们可以构造一个哈密顿量（Hamiltonian）。
由于每个原子都有自旋，我们可能想要“惩罚”附近原子具有相反自旋的构型（无序）。所以当一个特定的构型混合了上自旋和下自旋时，我们应该制定一个能量惩罚。一个这样的模型是如下所示的哈密顿函数。

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这个哈密顿函数中的第一项是对旋转不一致时的惩罚。它增加了系统中每一对方向相反的自旋的能量惩罚。由于我们选择的晶格包含64个原子，如果它是一个有32个上旋和32个下旋的构型，那么无序性是最差的。另一方面，如果所有的旋转都是向上或向下的，那么就是最"平静"的构型。第二项只是为了抵消任何额外磁场的影响。
字母J和B分别代表了无序效应和外加磁场的总体大小。这些字母被称为耦合常数，它们衡量我们试图捕捉的物理效应的强度。
事实上，这个模型已经与自旋玻璃模型格外相似。我们已经可以提出许多有趣的问题。例如，假设J不是固定的--而是随机的。最小的能量状态会是什么样子？这不是那么明显。这个问题激发了帕里西在自旋玻璃模型中的对称性破坏方面的许多开创性工作。
现在，观察这个晶格中的每一个原子是有点困难的，因为它们的数量实在太多了。因此，我们尝试"放大，将靠近的原子分组，并在每个位置分配类似于平均复合自旋的东西。一个好的方法是将它们分成一组（如下图所示），然后给每个方块附加一个"平均"自旋。例如，如果一个方块中有两个上旋和两个下旋，那么这个方块的平均自旋将是零。这种平均方法就是我所说的"放大"系统的意思。

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这在第一张图中显示。首先，我们将原子分组为四组，然后为每组四个原子分配一个混合值（平均自旋）。现在，我们把问题缩小到只有16个点，而不是64个点。
我们可以在这个放大的模型上精确地分配相同类型的物理量和模型，就像我们之前所做的那样！但是，我们不再惩罚自旋差异。然而，我们现在不是对每个原子的单个自旋差异进行惩罚，而是对组本身的自旋差异进行惩罚。现在让我们假设能量形式是相同的，但也许有不同的耦合常数， J和B 。

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这里的哈密顿方程的形式仍然是相同的
如果是这样，物理模型的形状即使在放大后也是一样的，我们就说该系统表现出自相似性。这意味着，在新的模型中，哈密顿函数结构是相同的。然而，新参数J和B可能需要改变，以说明分组的情况。因此，通过"放大"系统，我们已经将一对变量从（J ， B）→（J' ， B'）映射出来。如果我们重复这个过程，我们会发现进一步的演变（J ， B）→（J' ， B'）→（J" ， B"）。弄清这些常数如何演化的科学被称为重正化群。
有时，当放大时，物理效应会被淡化。以盒子里的温度为例。有一些直接的、可靠的定律可以成功地预测盒子里的温度，如果慢慢增加里面的原子的压力。我们不需要知道每个粒子之间微妙的量子力学相互作用——这就是当放大时，它们的影响被淡化了。复杂系统则相反。复杂系统从具有相对简单规则的系统中显示出复杂的行为。