完全依赖基本论证，牛津大学26岁博士生利用业余时间证明素数猜想( 二 ) 选自quantamagazine作者：JordanaC

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MerrillSherman/QuantaMagazine
然后，他和Pomerance思考了这些倍数系列有多「密集」，也即，它们占据了多少数字线。例如，所有偶数序列的密度为1/2 ，因为偶数占了所有数字的一半。他们观察到，如果originalset是原始的，则其相关的倍数序列不会重叠，因此组合密度最多为1 ，即是所有整数的密度。
这一观察具有相关性，因为19世纪数学家FranzMertens的定理在本质上使得Lichtman和Pomerance可以根据这些密度重新解释原始集的Erd?ssum 。根据Mertens定理，一个特殊常数（大约等于1.78），当乘以一个相当于这些倍数的组合密度的项时，能够给出一个原始集的Erd?ssum最大值。由于组合密度至多为1 ， Lichtman和Pomerance证明了原始集的Erd?ssum至多在1.78左右。
牛津大学数学家、数论教授JamesMaynard教授表示，「这是Erd?s最初想法的一种变体，但却是一种非常巧妙、简洁的方式，获得了一个不严格但也不算太差的上限。」几年来，这似乎是最好的数学家所能做到的，目前尚不清楚如何将最大值降至1.64 。
证明素数猜想
之后， Lichtman毕业并前往牛津大学跟随Maynard攻读博士学位，在那里主要研究与素数相关的其他问题。 Maynard称，「我知道他一直在思考这个问题，但当他突然想出一个完整的证明时，我完全震惊了。」
Lichtman首先意识到，对于素因数相对较小的数字，他之前与Pomerance的论点依然有效：在这种情况下，常数1.78可以被降低到远低于1.64 。
但是，具有素因数相对较大的数字（在某种意义上接近于素数），是另一回事。为了解决这些问题， Lichtman找到一种方法，实现了每个数字不只是关联一个倍数序列而是多个序列。和之前一样，所有这些序列的组合密度最多为1 。但这一次，这些其他倍数占据了一些空间。
以数字618（2×3×103）为例，通常可能将最小素因数为103的所有618的倍数与它相关联，但可以使用一些被遗漏的较小的素因数来构建序列。例如，一个序列可能由所有原始倍数组成，同时允许被5整除的618的倍数。
这些额外倍数的存在意味着原始倍数的组合密度（Mertens定理中使用的数量）实际上小于1 。 Lichtman找到了一种更准确地确定该密度可能为多少的方法。
然后，他仔细地确定了原始集的最坏情况：在具有最大素因数和最小素因数的数字之间取得什么样的平衡。通过将自己的两部分证明拼凑在一起， Lichtman能够证明这种情况下Erd?ssum的值小于1.64 。 Lichtman在今年2月发表了预印本论文。数学家指出，这项工作非常卓越，因为它完全依赖于基本论证。

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论文地址：https：//arxiv.org/abs/2202.02384
现在，这些想法巩固了素数在原始集中的特殊性。