完全依赖基本论证，牛津大学26岁博士生利用业余时间证明素数猜想选自quantamagazine作者：JordanaC

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作者：JordanaCepelewicz
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编辑：陈萍、杜伟
卷起来了！

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质数（Primenumber），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。例如， 5是个质数，因为其正因数只有1与5 。
质数作为算术的原子，在数轴上一直占据着特殊的位置。现在，来自牛津大学的26岁博士生JaredDukerLichtman解决了一个重要的猜想，他建立了质数特别的另一个方面，在某种意义上，甚至是最优的。目前Lichtman在牛津大学跟随Maynard攻读博士学位。
具体而言，该猜想为研究者提供了一个更大的背景来理解质数在哪些方面是唯一的，以及它们在哪些方面与更大的数字集合有关。该猜想涉及原始集（primitivesets），在这个集合中，任何数字之间不能进行整除。由于每个素数只能被1和它自己整除，所以所有素数的集合就是原始集。

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JaredDukerLichtman
原始集的Erd?ssum大约是多少
原始集这一概念是由数学家PaulErd?s在1930年代引入的。当时，这还只是一种工具， Erd?s使用这种工具来证明古希腊某一类数字（称为完全数）。但这一工具很快就成为人们感兴趣的对象——在Erd?s的整个职业生涯中一次又一次地出现。
原始集的定义很简单，但也有点奇怪，研究者只需知道原始集可以达到多大，就可以捕捉到这种奇怪之处。例如考虑最大为1000的所有整数的集合，从501到1000的所有数字，是集合的一半，这些数字形成一个原始集，因为没有一个数字可以被任何其他数字整除。通过这种方式，原始集占据数轴的很大一部分。但是其他原始集，例如所有素数的序列，就变的非常稀疏。「原始集确实是一个非常广泛的类别，很难直接掌握。」Lichtman表示。
【完全依赖基本论证，牛津大学26岁博士生利用业余时间证明素数猜想】为了捕捉原始集的这些有趣属性，数学家们研究了不同大小的集合。例如，与其计算一个集合中有多少个数字，他们可能会执行以下操作：对于集合中的每个数字n ，将其代入表达式1/（nlogn），然后将所有结果相加。例如，集合的大小变为1/（2log2）+1/（3log3）+1/（55log55）。
Erd?s发现对于任何原始集，包括无限集，这个和（不同的1/（nlogn）——Erd?ssum总是有限的。无论原始集是什么样子，它的Erd?ssum总是小于或等于某个数字。因此，尽管这个和至少从表面上看是完全陌生和模糊的， Lichtman表示，但它在某些方面控制了原始集的一些混乱，使其成为正确使用的量尺。
我们不禁会问Erd?ssum最大可能是多少。 Erd?s推测它是质数的一个，结果约为1.64 。
几十年来，数学家在证明方面取得部分进展，例如，他们表明，这个猜想对于特定类型的原始集是正确的。「尽管如此，在Jared开始研究之前，感觉我们并没有真正接近它。」来自英属哥伦比亚大学的GregMartin表示。
Lichtman于2018年开始研究原始集猜想，那是他在达特茅斯学院读本科的最后一年。
2019年， Lichtman及其导师CarlPomerance根据乌得勒支大学的数学家LolaThompson的说法，他们发现一个原始集的Erd?ssum不可能大于约1.78 。 Martin表示，只比质数的猜想大10%左右。
Lichtman和Pomerance通过将一个新的倍数序列与给定原始集中的每个数字相关联来获得这个常数。再次考虑原始集。与数字2相关联的是所有偶数的序列，与数字3相关联的是所有3的倍数，而不是2的倍数。与数字55（5×11）相关联的是所有55的倍数，通常可能将最小素因数为11的所有55的倍数与它相关联（因为最小素因数为11 ，因此不包括所有2、3、5和7的倍数）。 Lichtman将其比作单词在字典中的索引方式——仅使用素数而不是字母来组织每个序列。