三角形内角和是多少度？三角形内角和一定是 180°吗？

如果有人问你：“三角形内角和等于多少？”你肯定会不假思索地告诉他：“180°！”
假如那个人说不是180°，那么你可能会认为他无知。
其实，“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学（Euclid Geometry）中的一个定理。也就是说，在欧几里得几何学里，一个三角形的内角和等于 180°，但如果跳出欧几里得几何学的范围，一个三角形的内角和就不一定等于 180°！
举个栗子，地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应该是 90°，它们的和就是 270°！

文章插图
你感到奇怪吗？你知道除了欧几里得几何（欧氏几何）学外，还有其他几何学吗？这些几何学称为非欧（欧几里得）几何学。
欧式几何
想要探索非欧几何，先要了解欧式几何。欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。有时单指平面上的几何，即平面几何。数学老师课堂上教授的就是欧式几何。它有以下几条简单的公理：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
这五条“显然”的公理是平面几何的基石，我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目。但机智的你有没有发现第五公设（平行公设）和前面的四个公设比较起来，文字叙述冗长，而且不那么显而易见，有违数学的简洁美感呢?
在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。
罗氏几何的诞生
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得不对。第五公设到底能不能被证明？
到了十八世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（ Lobachevsky）在证明第五公设的过程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研究第五公设的证明，但并没有什么成果，老罗曾告诫自己的儿子“小罗”：“你不要搞第五公理了，我都研究一辈子了，都没搞出来，这简直是数学家的噩梦。”
【三角形内角和是多少度？三角形内角和一定是 180°吗？】然而小罗并没有听从老爸的建议。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点，至少可以作两条直线和已知直线不相交”，用它来代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。