12！是多少？世界上最美丽的函数——γ函数，数学皇冠上的明珠( 二 ) 你最喜欢的函数是什么？如果

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注意Γ(n)=Π(n-1)=(n-1)！对所有自然数n都成立。
因此，伽马函数也满足类似的函数方程，即：

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【12！是多少？世界上最美丽的函数——γ函数，数学皇冠上的明珠】所以，伽马函数是广义的阶乘函数Γ(n+1)=n！，对所有非负整数n都成立。
但这是一个唯一的泛化吗？答案是否定的。但是，如果我们给它一个约束条件，结果就是它了。这个约束与对数凸性的概念有关，但我不会在这里详细描述它，因为这与我要讲的内容有点离题。
具体要求是函数logΓ是凸的。
二次可微函数f是对数凸的当且仅当：

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已经发现了无数种函数的定义和形式。一个特别好的例子是无穷大的乘积。在此之前，让我们试着从我们的定义中得出一些有趣的结果。我们要做的第一件事可能一开始看起来很奇怪，但有时在数学中，你应该尝试并遵循逻辑结果，同时运用你的直觉。
我们将把指数函数写成极限形式并把它代入伽马函数的定义中。首先，回想一下：

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这可以用很多方法来证明。
回想一下几何级数有一个封闭形式：

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如果|x|&lt1则成立。将x代入-x ，得到：

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现在我们可以对两边做进一步的处理：

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假设n&gtx ，那么我们可以代入z=x/n 。

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现在，如果我们取n→∞时的极限，很明显：

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有了这个结果，现在就可以直接计算出想要的结果了。

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通过替换，这个等价于这个表述：

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现在让我们在Γ(z)的定义中使用这个结果：

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我们把这个积分称为极限内的I(n,z) ，多次使用偏积分可以得到：

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继续下去，当我们最终消去1-t/n项的指数时，我们可以积分得到：

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为了得到Γ(z) ，我们取其极限：

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这是一个非常著名的结果，但我们不想止步于此。
让我们对这个极限进行一些简单的处理。

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这里我们在e的指数上加减∑z/i 。注意， log是自然对数。
我们现在可以把指数分开，利用这样的事实，即指数中的和就是乘积：

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欧拉常数是由：