通向复杂大脑的神秘数学之旅 | 返朴( 三 ) 关注风云之声提升思维层次导

重建出的神经元微型电路中，有向单纯形的数量却比其他网络中高得多，而且还包括高维有向单纯形。 Hess表示， “蓝脑计划”中的微型电路有更多（数量），该电路与随机网络相去甚远。 ”他们的研究结果表示，为了使神经元必要的传导行为能够协调……这些神经元必须得属于一个更大的结构（例如这些高维单纯形）。
数数有多少个洞
让我们回到上面说的甜甜圈和咖啡杯，它们的共通之处在于都有一个洞。球面则不然，它没有洞，所以没办法平滑地（指不撕开或不切割。译者注：数学上平滑/光滑（smoothness）指的是任意阶可导，而拓扑中的变换应该说连续）变换成甜甜圈，所以球面和甜甜圈从拓扑意义上来说是不同的。而物体中洞的数量——称为亏格（genus）——是拓扑中非常重要的一个概念，因为它在平滑变换下是不变的。洞的形状和大小有可能会变，不过数量不会。
而与此相对应的是，网络中也有一个概念，叫作腔（cavity）。这是指多个单纯形，互相的节点重合在一起，形成的一个封闭对象。比如说你可以把一个由1-单纯形组成的腔（即2-腔）想象成一扇窗户（窗户的边就是1-单纯形），而2-单纯形组成的腔（即3-腔）想象成一个房间（墙壁就是2-单纯形）。

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由4个1-单纯形构成一扇窗户，或称2-腔。丨图片来源：NicolasAntille,EPFL

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由8个2-单纯形构成的一个房间，或称3-腔。丨图片来源：NicolasAntille,EPFL)
Hess解释说， “网络中的腔，是高度有序的，它们的存在揭示了网络的结构。 ”Hess和她的同事们计算了“蓝脑计划”的那42个不同微型电路中，不同维度的腔的数量。计算结果表明，这项拓扑参数忠实地反映了生物学事实。
下图展示了42个重建电路中， 2-腔和3-腔的数量对比。不同颜色对应不同的大鼠（或者共用数据的平均鼠）。可以明显看出，同一只鼠的数据聚集在一起。对于不同鼠而言，上述拓扑参数显然是不同的，而对于同一只而言，又基本保持吻合。

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生物样本中拓扑参数的聚类分析丨图片来源：:KathrynHess
有向单纯形和腔这两个数量参数，还可以用来分析神经网络中传递的电活动的波动。如果一条边对应的一个神经元正在触发另一个，则我们称这条边是激活的。研究者们可以用有生物学意义的时间步长，对每个步长内激活的单纯形和腔的数量进行计数，以此来观察活动的变化。下面这张图表——Hess和同事们称其为“嗖嗖（swoosh）”——展示了活动时数据沿曲线逆时针方向移动。

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“嗖嗖”图展示了激活的3-腔（纵轴）与激活的1-腔(横轴)的数量丨图片来源:KathrynHess
Hess在她的演讲开头时说道，她职业生涯的前十年都致力于最纯粹的数学——拓扑、同调论和范畴论。现在她正在用同样纯粹的数学来研究大脑——正是大脑让我们有能力创造数学的奇思妙想。这又一次证明了数学在描述我们内在世界和外部世界方面都同样有效。
本文译自RachelThomas,Themathematicalshapesinyourbrain原文链接：https://plus.maths.org/content/mathematical-shapes-your-brain
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