已知5a+b=9,求a^2+2b^2的最小值
主要内容:
通过中值法、代入法、导数法等不同方法 , 详细介绍求代数式a^2+2b^2在5a+b=9条件下最小值的计算步骤 。
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※:中值法
设5a=9/2+k , b=9/2-k , 则:
f(a,b)
=a^2+2b^2
=(9/10+k/5)^2+2(9/2-k)^2
=51k^2/25-2*441k/50+4131/100
=51/25*(k-147/34)^2+54/17 。
将其看成为k的抛物线方程 , 开口向上 , 可知 , 当取对称轴k=147/34时 , f(a , b)有最小值 , 即:
f(a,b)min=54/17 。
※:代入法
∵5a+b=9,
∴b=9-5a,代入所求代数式得:
f(a,b)=a^2+2b^2
=a^2+2(9-5a)^2
=51a^2-2*90a+162
=51*(a-30/17)^2+54/17 。
可知 , 当a=30/17时 , f(a , b)有最小值 , 即:
f(a,b)min=54/17 。
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※:导数法
【已知5a+b=9,求a^2+2b^2的最小值】根据题意 , 构造如下函数:
设g(a,b)=a^2+2b^2+λ(5a+b-9),
分别对a,b求偏导数得:
g(a,b)a=2a+5λ ,
g(a,b)b=4b+λ ,
g(a,b)λ=5a+b-9
令g(a,b)a=g(a,b)b=g(a,b)λ=0 , 得b=a/10 。
又因为5a+b=9,所以a=30/17,b=3/17.
则f(a,b)min=(30/17)^2+2*(3/17)^2
=54/17 。
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