黎曼猜想被证明了！( 三 ) 【新智元导读】著名数学家、

Analyticnumbertheoryisfortunatetohaveoneofthemostfamousunsolvedproblems,theRiemannHypothesis.Notsofortunately,thisputsusinadefensiveposition,becauseoutsiderswhoareunfamiliarwiththedepthoftheproblem,intheirpursuitfortheultimatetruth,tendtojudgeourabilitiesratherharshly.InconcludingthistalkIwishtoemphasizemyadvocacyforanalyticnumbertheorybysayingagainthatthetheoryflourisheswithorwithouttheRiemannHypothesis.Actually,manybrillianideashaveevolvedwhileonewastryingtoavoidtheRiemannHypothesis,andresultswerefoundwhichcannotbederivedfromtheRiemannHypothesis.So,donotcry,thereisahealthylifewithouttheRiemannHypothesis.IcanimagineacleverpersonwhoprovestheRiemannHypothesis,onlytobedisappointednottofindnewimpotantapplications.Well,anawardofonemilliondollarsshoulddrythetears;noapplicationsarerequired!
难点二：关于zeta函数，目前的结论集中在functionalequation即modularity即Langlands层面。但RH是更高一个层面的结论。
因为容易写出和Riemannzeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓，但是不满足相应RH的Dirichlet级数，例如Davenport-Heilbronn的例子。对于函数方程，我们在很多zeta函数上都已经会证。但是对于RH ，我们连最简单的数论情况都不会证。由于函数方程的层面是poissonsummation/traceformula ，个人的感觉是，可能traceformula并不足以对付RH 。不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用。那么，如果说函数方程、解析延拓（以及某些增长速度之类）还不足以推出RH ，到底还需要Dirichlet级数的什么性质？从Selbergclass看，还需要的是Euler积。
看上去很普通的Euler积，其实是很神秘的。怎么正确用上Euler积是个问题。
难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物。
很难说"一个满足RH的Dirichlet级数"在Mellin变换后会变成满足什么性质。所以这种道路似乎是困难的。难点四：我们会证某些RH的类似物，但不知道怎么把结果转化到数域上。
经典的例子是Weil猜想的情况。由于2维的Weil猜想可以通过考虑CxC证，所以许多人希望用类似的办法证RH ，比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1x_ZF_1 。但目前还没有人知道怎么做。 Deligne对于高维Weil猜想的证明，实际在本质上也是类似的思路。而且这又涉及到一个经典问题："frobeniusinchar.0"是什么？无法回答。 Connes的非对易几何对此曾试图有话要说。总之，几何的方法，目前可以对付localfield ，对付char.p ，对付函数方程，但仍然很难对付globalfield的RH 。还有一些很玄的方法，比如随机矩阵，比如SpecZ是三维的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。大家知道，面对很难的猜想，大家攻击不进去，都会在它旁边转来转去，有时转来转去就自动开了，更多的时候还是总得要暴力攻击进去。我觉得这些转来转去可能是越转越难。令人困惑的问题仍然是：
怎么把Euler积这个条件正确地用上？
如果不用上这个条件，肯定不可能证出来RH 。因为不用上就有反例。
Naive地看， Euler积就是算术基本定理，就是classnumber1 ，但然后又怎样呢，不容易继续。也许先找到怎么证specialvalue的系列猜想（Beilinson/Tamagawaetc）会相对简单些。
结语：幻想的证明思路
虽然不知道怎么证，不过可以幻想怎么证。
我猜， Weil猜想的证明方法可能会有一点启示。 Deligne对于Weil猜想的证明，最终是靠一个常见而强大的技巧，考虑：
可以证明：
即：
令k->∞ ，再运用函数方程，证毕。
简单地说，先证明能往中间推一点（k=1），然后找到【只要能推一点，就可以不断往中间推】的办法（k->∞），最终就推到中间了。