黎曼猜想被证明了！( 四 ) 【新智元导读】著名数学家、

遗憾的是，对于RH ，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因为Z目前没有合适的代数几何结构。
或者RH需要通过反证法证。那么需要找到足够坏的反面推论。证明有了一个坏零，就可以越推越荒唐（有某种“动力系统”）。这个过程肯定是需要函数方程和迹公式，更奇怪的还是怎么用Euler积。用通俗的话说，要证明这么难的问题，肯定需要将所有条件都用上。
这种反证法有点类似现在传闻的Atiyah的5页证明的一些方法。这个传闻的5页证明很神，好像都没看到函数方程用在哪里...所以不知道真伪。
我不相信RH可以用纯解析的方法证。从前Branges的证明是纯解析，现在传闻的Atiyah好像也是纯解析。 zeta有很多解析性质，但并不是zeta独有的，例如像zetauniversality之类的东西都不是独有的，我认为都是不足够证明RH的。
说起来，很欣赏望月新一对于BSD的某句话，他说我们要走得更深，考虑像加法和乘法这种操作的本身的变形。也许只有这样，才能给我们足够的灵活性去证明那些最难的结论。
返璞归真：Errorterm问题
其实， RH最返璞归真地从代数的角度看，是对于errorterm的估计。但是errorterm的问题很难，我们连高斯圆问题都证不出来。这里以后也许会成为一种突破口，先把高斯圆问题给解决再谈RH吧。高斯圆问题现在都是用纯解析方法推，目标是0.5+ε ，目前推到131/208=0.6298...就推不动了。
下面介绍高斯圆问题，又叫圆内整点问题。大家可以多关注这个问题。我们在格点纸上画个半径为r的圆，里面当然大致就有pir^2个格点。

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那么这个估计的误差E(r)是多少呢？
很明显肯定是O(r) ，因为误差首先约等于圆的边长（这是很漂亮的几何观点，其实classnumberformula就是这样来的），例如高斯证明了：
但是圆很规则，实际上误差更小，大家猜是：
用Voronoi可以证O(r^{2/3}) ，现在可以证明到O(r^{131/208}) 。这个问题属于看上去很简单，实际非常难。有兴趣的可以想想。
下面继续看RH 。民间数学家最流行的是证明哥德巴赫猜想，然后是费马大定理，因为这两个的表述足够简单。 RH的解析表述让民间数学家看不懂。不过如果把RH写成errorterm的等价命题：
或者Mertens函数的等价命题，民间数学家就也可以看懂了。
但是代数的方法目前很弱，连primenumbertheorem都做不动。现在还没有神奇的可以进攻errorterm问题的代数方法。如果RH最终证明同时用很深的代数和解析，那么肯定是一个很漂亮的证明。
（本文最后一小节内容授权转载自知乎用户PENGBo的回答，点击圆度原文了解更多）

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